Question

11．如圖，已知拋物線與x交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式； 
（2）設拋物線頂點為D，求四邊形ABDC的面積；
（3）△AOC與△DCB是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將C（0，3）代入可求得：a=-1，將a=-1代入可求得拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖1所示：連接BC、CD、BD．由拋物線的對稱軸方程可求得x=1，將x=1代入拋物線得：y=4，從而得到點D的坐標為（1，4），依據兩點間的距離公式可知：BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，DB=2$\sqrt{5}$，然后根據勾股定理的逆定理可證明△CBD為直角三角形，最后根據S_ABDC=S_△ABC+S_△CDB求解即可；
（3）先證明$\frac{AO}{CD}=\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，由（2）可知∠DCB=∠AOC，最后依據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似證明即可．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C的坐標代入得：（0+1）×（0-3）a=3．
解得：a=-1．
∵a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）．
∴y=-x²+2x+3．
（2）如圖1所示：連接BC、CD、BD．

∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴點D的橫坐標=-$\frac{2}{-1×2}$=1．
將x=1代入拋物線的解析式得：y=4．
∴點D的坐標為（1，4）．
∵由兩點間的距離公式可知：BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，DB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴BC²=18，CD²=2，BD²=20．
∴BC²+CD²=BD²．
∴△CBD為直角三角形．
∴四邊形ABDC的面積=S_△ABC+S_△CDB=$\frac{1}{2}×4×3$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=9．
（3）∵AO=1，OC=3，DC=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AO}{CD}=\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$．
又∵∠DCB=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、拋物線的對稱軸公式、兩點間的距離公式、勾股定理的逆定理以及相似三角形的判定定理的應用，證得△CDB是直角三角形是解題的關鍵．