Question

18．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”
（1）概念理解：
請你根據上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；
（2）問題探究；
如圖1，在四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于點E，AD∥BE，∠D=80°，∠C=40°，探究四邊形ABCD是否為等鄰角四邊形，并說明理由；
（3）應用拓展；
如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．

Answer 1

分析 （1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；
（2）先根據平行線的性質得出，∠BEC=80°，在根據三角形的內角和求出∠CBE=60°，進而用三角形得出∠ABC=120°，最后用四邊形的內角和即可得出∠A=120°=∠ABC即可得出結論．
（3）分兩種情況考慮：Ⅰ、當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖1，由S_{四邊形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′，求出四邊形ACBD′面積；
Ⅱ、當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖2，由S_{四邊形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}，求出四邊形ACBD′面積即可．

解答 解：（1）矩形或正方形；

（2）四邊形ABCD是等鄰角四邊形，理由：
∵AD∥BE，∠D=80°，
∴∠BEC=∠D=80°，
∵∠C=40°，
根據三角形的內角和得，∠CBE=180°-∠C-∠BEC=180°-40°-80°=60°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE=120°，
在四邊形ABCD中，根據四邊形的內角和得，∠A=360°-∠D-∠C-∠ABC=120°，
∴∠A=∠ABC，
∴四邊形ABCD是“等鄰角四邊形”；

（3）∵Rt△ABD繞著點A順時針旋轉角α（0°＜∠α＜∠BAC）且∠BAC＜90°，
∴∠CAD'＜90°，∠AD'B＞90°，
∵凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形，
∴只有∠AD′B=∠D′BC或∠D′BC=∠ACB；
Ⅰ、當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，
如圖1，
∴∠ED′B=∠EBD′，
∴EB=ED′，
設EB=ED′=x，
∴CE=BC+BE=3+x．AE=AD'+D'E=AD'+D'E=4+x，
在Rt△ACE中，根據勾股定理得：AC²+CE²=AE²，
∴4²+（3+x）²=（4+x）²，
解得：x=4.5，
在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
∴AD=4，
由旋轉知，AD'=AD=4，
∴ED'=x=4.5，AE=4+x=8.5
過點D′作D′F⊥CE于F，
∴D′F∥AC，
∴△ED′F∽△EAC，
∴$\frac{D'F}{AC}=\frac{ED'}{AE}$，即$\frac{D'F}{4}=\frac{4.5}{8.5}$，
解得：D′F=$\frac{36}{17}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC×EC=$\frac{1}{2}$×4×（3+4.5）=15；S_△BED′=$\frac{1}{2}$BE×D′F=$\frac{1}{2}$×4.5×$\frac{36}{17}$=$\frac{81}{17}$，
則S_{四邊形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′=15-$\frac{81}{17}$=$\frac{174}{17}$；
Ⅱ、當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，
如圖2，
∴∠CED'=∠ACB=∠D'BC=90°，
∴四邊形ECBD′是矩形，
∴ED′=BC=3，
在Rt△AED′中，根據勾股定理得：AE=$\sqrt{AD{'}^{2}-D'{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
∴AD=4，
由旋轉知，AD'=AD=4，
在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴CE=AC-AE=4-$\sqrt{7}$
∴S_△AED′=$\frac{1}{2}$AE×ED′=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}$×3=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，S_{矩形ECBD′}=CE×CB=（4-$\sqrt{7}$）×3=12-3$\sqrt{7}$，
則S_{四邊形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$+12-3$\sqrt{7}$=12-$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉的性質，相似三角形的性質和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關鍵，分類討論是解本題的難點，是一道中考常考題．