Question

9．已知x+$\frac{1}{x}$=2，求代數(shù)式x+x²+x⁴+x⁸+…+x¹⁰²⁴+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{4}}$+$\frac{1}{{x}^{8}}$+…+$\frac{1}{{x}^{1024}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以先求出${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$和${x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}$值，從而可以先發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，即可解答本題．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x}$=2，
∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=（x+\frac{1}{x}）^{2}-2$=2²-2=2，
∴${x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}=（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）^{2}-2$=2²-2=2，
∴x+x²+x⁴+x⁸+…+x¹⁰²⁴+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{4}}$+$\frac{1}{{x}^{8}}$+…+$\frac{1}{{x}^{1024}}$
=$（x+\frac{1}{x}）+（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）+…+（{x}^{1024}+\frac{1}{{x}^{1024}}）$
=$\underset{\underbrace{2+2+2+…+2}}{11個(gè)2}$
=2×11
=22．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式的化簡求值、規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中式子的變化規(guī)律．