Question

4．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是直線y=-2x-6上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，連接OA、OB，則四邊形OAPB的面積的最小值為$\frac{\sqrt{155}}{5}$．

Answer 1

分析 可把四邊形OAPB轉(zhuǎn)化成Rt△AOP和Rt△BOP，則可知當(dāng)OP最短時(shí)，四邊形OAPB的面積最小，設(shè)直線交x、y軸于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，可知OP最短時(shí)為△COD的CD邊上的高，由等積法可求得OP的長(zhǎng)，可求得答案．

解答 解：
如圖，連接OP，設(shè)直線y=-2x-6交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)C，
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OA=OB=1，
∴當(dāng)OP最短時(shí)，△AOP和△BOP的面積最小，即四邊形OAPB的面積最小，此時(shí)OP⊥CD，
在y=-2x-6中，令y=0可求得x=-3，令x=0可求得y=-6，
∴C（-3，0），D（0，-6），
∴OC=3，OD=6，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$CD•OP，
∴3×6=3$\sqrt{5}$OP，解得OP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AOP中，AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{155}}{5}$，
∴S_{四邊形OAPB}=2S_△OAP=2×$\frac{1}{2}$AP•OA=$\frac{\sqrt{155}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{155}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)，確定出滿足條件的P的位置，求得AP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．