Question

15．已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E，在AC上取一點D，使得DE=AD，
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）當BC=10，AD=4時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OE、DE，證明△AOD≌△EOD，得到∠OED=∠BAC=90°，證明結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠AOD=∠EOD，根據三角形的外角的性質得到∠BEO=∠EOD，得到OD∥BC，求出OD，根據勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：連接OE、DE，
在△AOD和△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{DA=DE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED=∠BAC=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠AOE=∠B+∠OEB，
∴∠BEO=∠EOD，
∴OD∥BC，又AO=BO，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=5，
由勾股定理得，AO=$\sqrt{O{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
則⊙O的半徑為3．

點評 本題考查的是切線的判定、全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理的應用，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．