Question

17．一個正六邊形的外接圓的半徑為$\sqrt{2}$，則此正六邊形的面積為（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接OE、OD，由正六邊形的特點求出判斷出△ODE的形狀，作OH⊥ED，由特殊角的三角函數值求出OH的長，利用三角形的面積公式即可求出△ODE的面積，進而可得出正六邊形ABCDEF的面積．

解答 解：連接OE、OD，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠DEF=120°，
∴∠OED=60°，
∵OE=OD=$\sqrt{2}$，
∴△ODE是等邊三角形，
∴DE=OE=$\sqrt{2}$，
作OH⊥ED交ED于點H，則sin∠OED=$\frac{OH}{OE}$，
∴OH=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴正六邊形的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題考查了正多邊形的性質，掌握正六邊形的邊長等于半徑的特點是解題的關鍵．