Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，點0是坐標原點．邊長為6的正方形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，點E是對角線AC上一點，連接OE、BE，BE的延長線交OA于點P，若△OCE的面積為12．
（I）求點E的坐標：
（2）求△OPE的周長．

Answer 1

分析 （1）過點E作EM⊥y軸于點M，根據面積公式求出EM=4，根據正方形性質求出CM=ME=4，即可求出答案；
（2）根據全等求出BE=OE，求出直線BE的解析式，求出P的坐標，根據勾股定理求出BP，即可求出答案．

解答 解：（1）過點E作EM⊥y軸于點M，

則$\frac{1}{2}$OC•EM=12，
即$\frac{1}{2}$×6×EM=12，
∴EM=4，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠MCE=45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∴MC=ME=4，
∴MO=6-4=2，
∴點E的坐標是（4，2）；

（2）設直線BE的解析式為y=kx+b，
把B（6，6）和點E（4，2）的坐標代入函數解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=6}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$
解得：k=2，b=-6，
∴直線BE的解析式為y=2x-6，
令2x-6=0得：x=3，
∴點P的坐標為（3，0），
∴OP=3，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴OC=CB，∠BCE=∠OCE，
在△OCE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=BC}\\{∠OCE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴OE=BE，
在Rt△PBA中，由勾股定理可得：PB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴△OPE的周長=OE+PE+OP=3+PB=3+3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質，坐標與圖形性質，用待定系數法求出一次函數的解析式，勾股定理等知識點，能綜合運用知識點進行計算是解此題的關鍵．