Question

3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C（1，0）作x軸的垂線l，將直線l繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．

（1）當(dāng)直線l與直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$平行時(shí)，求出直線l的解析式；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，①求線段AC的長(zhǎng)；②直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（3）若直線l在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與y軸交于D點(diǎn)，當(dāng)△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出符合條件的旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的解析式為y=$\sqrt{3}$x+b，把點(diǎn)C（1，0）坐標(biāo)代入求出b即可．
（2）①求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出AC的長(zhǎng)．②如圖1中，由CE∥OA，推出∠ACE=∠ACO，由tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACO=30°，由此即可解決問(wèn)題．
（3）由圖2、圖3、圖4、圖5可知，當(dāng)α=15°或60°或105°或150°時(shí)，△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形．

解答 解：（1）當(dāng)直線l與直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$平行時(shí)，設(shè)直線l的解析式為y=$\sqrt{3}$x+b，
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0），
∴0=$\sqrt{3}$+b，
∴b=-$\sqrt{3}$，
∴直線l的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$．

（2）對(duì)于直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$令x=0得y=$\sqrt{3}$，令y=0得x=-1，
∴A（0，$\sqrt{3}$），B（-1，0），∵C（1，0），
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
如圖1中，

∵CE∥OA，
∴∠ACE=∠ACO，
∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACE=30°，
∴α=30°．

（3）由圖2、圖3、圖4、圖5可知，當(dāng)α=15°或60°或105°或150°時(shí)，△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形．

①如圖2中，當(dāng)α=15°時(shí)，
∵CE∥OD，
∴∠ODC=15°，
∵∠OAC=30°，
∴∠ACD=∠ADC=15°，
∴AD=AC=AB，
∴△ADB，△ADC是等腰三角形，
∵OD垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△DBC是等腰三角形．
②當(dāng)α=60°時(shí)，易知∠DAC=∠DCA=30°，
∴DA=DC=DB，
∴△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形．
③當(dāng)α=105°時(shí)，易知∠ABD=∠ADB=∠ADC=∠ACD=75°，∠DBC=∠DCB=15°，
∴△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形．
④當(dāng)α=150°時(shí)，易知△BDC是等邊三角形，
∴AB=BD=DC=AC，
∴△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、兩直線平行的條件、銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．