Question

13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AM是過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線，BD⊥AM于點(diǎn)D，CE⊥AM于點(diǎn)E，求證：DE=BD-CE．

Answer 1

分析 先根據(jù)垂直的定義得到∠AEC=∠BDA=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，則可利用“AAS”判斷△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD-CE=AE-AD=DE．

解答 證明：∵CE⊥AM，BD⊥AM，
∴∠AEC=∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}&{\;}\\{∠ADB=∠CEA}&{\;}\\{AB=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD-CE=AE-AD=DE，
即DE=BD-CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．