Question

14．如圖，在⊙O上有定點C和動點Q，位于直徑AB的異側，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，已知：⊙O半徑為$\frac{5}{2}$，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，求△PCQ面積的最大值．

Answer 1

分析 由CP⊥CQ，AB是直徑，易得∠Q=∠ABC，又由tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，易得當CP是直徑，CQ最大，此時△PCQ的面積最大．

解答 解：∵CP⊥CQ，AB是直徑，
∴∠ACB=∠PCQ=90°，
∵∠A=∠P，
∴∠Q=∠ABC，
∴tan∠Q=tan∠ABC，
∴$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{3}{4}$，
∴CQ=$\frac{4}{3}$CP，
∴當CP最大時，CQ的值最大，即△PCQ的面積最大，
∴當CP是直徑時，即CP=5，CQ最大，CQ的最大值為$\frac{20}{3}$，
∴△PCQ的面積的最大值=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{3}$=$\frac{50}{3}$．

點評 此題考查了圓周角定理、銳角三角函數、三角形的面積直徑的性質等知識，解題的關鍵是學會利用圓中最長的弦是直徑解決最值問題，屬于中考常考題型．