Question

5．（1）問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．
①∠AEB的度數為60°
②猜想線段AD，BE之間的數量關系為：AD=BE，并證明你的猜想．
（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM 為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請求出∠AEB的度數及線段CM，AE，BE 之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）①根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定證明△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質計算即可；
②根據全等三角形的性質解答；
（2）根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定證明△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質計算即可．

解答 解：（1）①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
∴∠AEB=60°，
故答案為：60°；
②AD=BE，
證明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案為：AD=BE；
（2）∠AEB=90°，AE-BE=2CM，
證明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中線，
∴CM=DM=EM=$\frac{1}{2}$DE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB，
∵∠CDA=135°，
∴∠AEB=135°-45°=90°，
∴BE=AD，
∴AE-AD=DE=2CM，
∴AE-BE=2CM．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．