Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．
（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）求△BPQ的面積y與t之間的函數關系式；
（3）當t為何值時，△BPQ的面積y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（2）作PE⊥BC于E，根據相似三角形的性質列出比例式，用t表示出PE，根據三角形的面積公式計算即可；
（3）把二次函數的一般式化為頂點式，根據二次函數的性質解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
當△BPQ∽△BAC時，$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$，
解得t=1，
當△BPQ∽△BCA時，$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，
解得，t=$\frac{32}{41}$，
∴當t=1或t=$\frac{32}{41}$時，△BPQ與△ABC相似；
（2）作PE⊥BC于E，
則△BPE∽△BAC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{PE}{AC}$，即$\frac{5t}{10}$=$\frac{PE}{6}$，
解得，PE=3t，
∴y=$\frac{1}{2}$×（8-4t）×3t=-6t²+12t；
（3）y=-6t²+12t=-6（t-1）²+6，
∴t=1，y最大值為6．

點評 本題考查的是相似三角形的性質、二次函數的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、熟記二次函數的性質是解題的關鍵．