Question

20．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D，F是射線AB上的動點，點E是射線AC上的動點，且DA=DE，EA=EF，設AE=4t．△DEF與△ABC重疊面積為y，如圖2是y關于t的函數圖象（其中0≤t≤$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{4}$＜t≤2，2＜t≤m時，函數的解析式不同）．
（1）m=$\frac{16}{5}$，n=$\frac{117}{16}$；
（2）求y關于t的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CK⊥AB于K，EH⊥AB于H．由題意AC=AB=8，當點F與點B重合時，AE=EB=5，在Rt△EHB中，HB=4，EB=5，EH=$\sqrt{E{B}^{2}-B{H}^{2}}$=3，設AD=DE=x，在Rt△EDH中，由DE²=EH²+DH²，可得x²=3²+（4-x）²，可得x=$\frac{25}{8}$，推出DH=AH-AD=$\frac{7}{8}$，推出n=S_△EDB=$\frac{1}{2}$•DB•EH=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{7}{8}$）•3=$\frac{117}{16}$，當AE=4t時，易知AD=DE=$\frac{5}{4}$•2t=$\frac{5}{2}$t，可得$\frac{5}{2}$t=8，推出t=$\frac{16}{5}$，即m=$\frac{16}{5}$．
（2）分三種情形分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作CK⊥AB于K，EH⊥AB于H．

由題意AC=AB=8，當點F與點B重合時，AE=EB=5，
在Rt△EHB中，HB=4，EB=5，EH=$\sqrt{E{B}^{2}-B{H}^{2}}$=3，設AD=DE=x，
在Rt△EDH中，∵DE²=EH²+DH²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴DH=AH-AD=$\frac{7}{8}$，
∴n=S_△EDB=$\frac{1}{2}$•DB•EH=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{7}{8}$）•3=$\frac{117}{16}$，
當AE=4t時，易知AD=DE=$\frac{5}{4}$•2t=$\frac{5}{2}$t，
∴$\frac{5}{2}$t=8，
∴t=$\frac{16}{5}$，
∴m=$\frac{16}{5}$．
故答案為$\frac{16}{5}$，$\frac{117}{16}$．


（2）①當0≤t≤$\frac{5}{4}$，如圖2中，重疊部分是△DEF．易知AD=DE=$\frac{5}{2}$t，AH=HF=$\frac{4}{5}$•4t=$\frac{16}{5}$t，EH=$\frac{3}{5}$•4t=$\frac{12}{5}$t，DH=AH-AD=$\frac{7}{10}$t，DF=DH+HF=$\frac{39}{10}$t，

∴y=$\frac{1}{2}$•DF•EH=$\frac{1}{2}$$•\frac{39}{10}$t•$\frac{12}{5}$t=$\frac{117}{25}$t²，

②當$\frac{5}{4}$＜t≤2，如圖3中，重疊部分是四邊形DEMB，作BE′∥EF交AC于E′，作BN⊥AC于N，則易知BK=CK=$\frac{24}{5}$，S_△BCE′=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{24}{5}$=$\frac{36}{5}$，

∵△CEM∽△CE′B，
∴$\frac{{S}_{△CEM}}{{S}_{△CE′B}}$=（$\frac{CE}{CE′}$）²，
∴S_△CEM=$\frac{36}{5}$•（$\frac{8-4t}{3}$）²，
∴y=S_△ABC-S_△CEM=$\frac{1}{2}$•8•$\frac{24}{5}$-$\frac{36}{5}$•（$\frac{8-4t}{3}$）²=-$\frac{64}{5}$t²+$\frac{264}{5}$t-$\frac{168}{5}$．
③當2＜t≤$\frac{16}{5}$時如圖4中，重疊部分是△DMB．作CH∥ED交AB于H．易知AH=CH=5，HB=3，S_△CHB=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{24}{5}$=$\frac{36}{5}$，

∵△MDB∽△CHB，
∴$\frac{{S}_{△MDB}}{{S}_{△CHB}}$=（$\frac{DB}{HB}$）²=（$\frac{8-\frac{5}{2}t}{3}$）²，
∴y=$\frac{36}{5}$•（$\frac{8-\frac{5}{2}t}{3}$）²=5t²-32t+$\frac{256}{5}$．
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{117}{25}{t}^{2}}&{（0≤t≤\frac{5}{4}）}\\{-\frac{64}{5}{t}^{2}+\frac{264}{5}t-\frac{168}{5}}&{（\frac{5}{4}＜t≤2）}\\{5{t}^{2}-32t+\frac{256}{5}}&{（2＜t≤\frac{16}{5}）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查動點問題綜合題、等腰三角形的性質、三角形的面積、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會看懂圖象信息，學會用分類討論分思想思考問題，屬于中考壓軸題．