Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E，F分別為線段BC，DB上的動點，DB與AE相交于點M．當AE+AF取最小值時，cos∠EAF的值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{13}\sqrt{13}$
• D． $\frac{2}{13}\sqrt{13}$

Answer 1

分析 如圖，根據垂線段最短可知，當等E與等B重合時，AF⊥BD時，AE+AF最短．只要證明∠1=∠2，根據cos∠EAF=cos∠2=$\frac{AD}{BD}$計算即可．

解答 解：如圖，根據垂線段最短可知，當等E與等B重合時，AF⊥BD時，AE+AF最短．

∵∠1+∠DAF=90°，∠2+∠DAF=90°，
∴∠1=∠2，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴cos∠EAF=cos∠2=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{6}{2\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
故選C．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、矩形的性質、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用垂線段最短解決問題，屬于中考常考題型．