Question

16．A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動．
（1）P、Q兩點從出發開始到幾秒時四邊形PBCQ是矩形？
（2）P、Q兩點從出發開始到幾秒時，點P和點Q的距離是10cm？

Answer 1

分析 （1）當PB=CQ時，四邊形PBCQ為矩形，依此建立方程求出即可；
（2）作PH⊥CD，垂足為H，設運動時間為t秒，用t表示線段長，用勾股定理列方程求解．

解答 解：（1）如圖，∵A、B、C、D為矩形的四個頂點，
∴∠B=90°，AB∥CD，

∴當PB=CQ時，四邊形PBCQ為矩形，
設P、Q兩點從出發開始到t秒時四邊形PBCQ是矩形，
則16-3t=2t，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
答：當P、Q兩點從出發開始到$\frac{16}{5}$秒時四邊形PBCQ是矩形秒時四邊形APQD為矩形；

（2）設P，Q兩點從出發開始到t秒時，點P，Q間的距離是10cm，
作PH⊥CD，垂足為H，則PH=AD=6，PQ=10，
∵DH=PA=3t，CQ=2t，
∴HQ=CD-DH-CQ=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）²+6²=10²，
解得t₁=4.8，t₂=1.6．
答：P，Q兩點從出發開始到1.6或4.8秒時，點P，Q間的距離是10cm．

點評 本題考查了一元二次方程的應用，矩形的性質及判定，勾股定理等知識，綜合性較強，利用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．