Question

4．在平面直角坐標系xOy中，當m，n滿足mn=k（k為常數，且m＞0，n＞0）時，就稱點（m，n）為“等積點”．
（1）若k=4，求函數y=x-4的圖象上滿足條件的，“等積點”坐標；
（2）若直線y=-x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點A和點B，并且直線有且只有一個“等積點”，過點A與y軸平行的直線和過點B與x軸平行的直線交于點C，點E是直線AC上的“等積點”，點F是直線BC上的“等積點”，若△OEF的面積為k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，求EF的值．

Answer 1

分析 （1）設“等積點”坐標為（m，n），則有$\left\{\begin{array}{l}{mn=4}\\{m-n=4}\end{array}\right.$解方程組即可．
（2）如圖，由題意“等積點”在反比例函數y=$\frac{k}{x}$圖象上，直線y=-x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點A和點B，并且直線有且只有一個“等積點”，所以“等積點”M的坐標為（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），B（0，2$\sqrt{k}$），A（2$\sqrt{k}$，0），E（2$\sqrt{K}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$），F（$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$，2$\sqrt{k}$），根據△OEF的面積=S_{正方形AOBC}-2•S_△AOE-S_△EFC=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）設“等積點”坐標為（m，n），則有$\left\{\begin{array}{l}{mn=4}\\{m-n=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2\sqrt{2}+2}\\{n=2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=2-2\sqrt{2}}\\{n=-2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍棄），
∴“等積點”坐標為（2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$-2）．

（2）如圖，由題意“等積點”在反比例函數y=$\frac{k}{x}$圖象上，

∵直線y=-x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點A和點B，并且直線有且只有一個“等積點”，
∴“等積點”M的坐標為（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），B（0，2$\sqrt{k}$），A（2$\sqrt{k}$，0），E（2$\sqrt{K}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$），F（$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$，2$\sqrt{k}$），
∵△OEF的面積=S_{正方形AOBC}-2•S_△AOE-S_△EFC=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，
∴k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$=4k-k-$\frac{9}{8}$k，
解得k=1或-$\frac{3}{8}$（舍棄），
∴E（2，$\frac{1}{2}$），F（$\frac{1}{2}$，2），
∴EF=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查一次函數綜合題、反比例函數的應用、二元一次方程組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數解決問題，學會用方程或方程組的思想思考問題，屬于中考壓軸題．