Question

14．已知一個(gè)面積為S的等邊三角形，現(xiàn)將其各邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點(diǎn)為頂點(diǎn)向外作小等邊三角形（如圖所示）．

（1）當(dāng)n=5時(shí)，共向外作出了9個(gè)小等邊三角形，每個(gè)小等邊三角形的面積為$\frac{1}{25}$；
（2）當(dāng)n=k時(shí)，共向外作出了3（k-2）個(gè)小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和為$\frac{3（k-2）}{{k}^{2}}$S（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 結(jié)合圖形正確數(shù)出前面幾個(gè)具體值，從而發(fā)現(xiàn)等邊三角形的個(gè)數(shù)和等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：是n等分點(diǎn)的時(shí)候，每條邊可以作（n-2）個(gè)三角形，共有3（n-2）個(gè)三角形；再根據(jù)相似三角形面積的比是邊長(zhǎng)的比的平方進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）當(dāng)n=5時(shí)，共有3×（5-2）=9個(gè)小等邊三角形，
∴每個(gè)小三角形與大三角形邊長(zhǎng)的比=$\frac{1}{5}$，
∵大三角形的面積是S，
∴每個(gè)小三角形的面積為$\frac{1}{25}$；‘

（2）由（1）可知，當(dāng)n=k時(shí)，共有3×（k-2）=3（k-2），每個(gè)小三角形的面積為$\frac{3（k-2）}{{k}^{2}}$S．
故答案為：（1）9，$\frac{1}{25}$；（2）3（k-2），$\frac{3（k-2）}{{k}^{2}}$S．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，此題要特別注意畫等邊三角形的時(shí)候，必須以相鄰等分點(diǎn)為頂點(diǎn)向外作小等邊三角形，所以有n等分點(diǎn)的時(shí)候，一邊可以作（n-2）個(gè)等邊三角形；計(jì)算面積的時(shí)候，主要是根據(jù)面積比是邊長(zhǎng)的平方比進(jìn)行計(jì)算．