Question

17．已知，點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
（1）如圖1，若點O在BC上，求證：△ABC是等腰三角形．
（2）如圖2，若點O在△ABC內(nèi)部，求證：AB=AC．
（3）若點O點在△ABC的外部，△ABC是等腰三角形還成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB，即可得出答案；
（2）根據(jù)HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案；
（3）畫出符合條件的兩種情況：圖③和圖④，根據(jù)HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案．

解答 （1）證明：如圖1，
過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
則∠OEB=∠OFC=90°，
∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）證明：如圖2，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
則∠OEB=∠OFC=90°，
∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）解：若O點在△ABC的外部，AB=AC不一定成立，
理由是：①當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線重合時，如圖3，
過O作OE⊥AB交AB的延長線于E，OF⊥AC交AC的延長線于F，
則∠OEB=∠OFC=90°，
∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠EBO=∠FCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
②當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線不重合時，如圖④，
此時∠ABC和∠ACB不相等，
∴AB≠AC，
∴△ABC是等腰三角形不一定成立．

點評 本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)題意證明三角形全等，得出相等角，利用等角對等邊證明結(jié)論．