Question

8．如圖，已知四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，且E在D上．
（1）求∠AEB；
（2）求證：DE=CE．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)M，求出∠DAE=∠CME，AB=BM，根據(jù)ASA推出△ADE≌△MCE，根據(jù)全等得出AE=EM，∠DAE=∠M，求出∠M=∠BAE，推出AB=BM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）過E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF=DE，EF=CE即可．

解答 （1）解：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)M，

∵AD∥BC
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，∠DAE=∠M
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠M=∠BAE，
∴AB=BM，
∵AE=EM，
∴BE⊥AM，
∴∠AEB=90°；

（2）證明：如圖2，過E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC
∴EF=DE=CE，
即DE=CE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，及等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．