Question

15．如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為1.5，ED=2，求AB的長．
（3）在（2）的條件下，延長EO交⊙O于F，連接DF、AF，求s的面積．

Answer 1

分析 （1）先由OA=OD得出∠BAC=∠ADO，再由OE∥AB得出∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，進而得出∠COE=∠DOE，即可判斷出△COE≌△DOE（SAS）得到∠ODE=∠C=90°，即可；
（2）由（1）得出△COE≌△DOE（SAS），得出CE=DE=2，用勾股定理求出OE，再判斷出OE是△ABC的中位線，即可求出AB；
（3）先判斷出OE垂直平分CD，再用△COE的面積求出斜邊上的高，進而得出CD，用勾股定理求出AD，最后用三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ADO，
∵OE∥AB，
∴∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠COE=∠DOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠C=∠ODE，
∵∠C=90°，
∴∠ODE=∠C=90°，
∵點D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切線；

（2）由（1）知，△COE≌△DOE（SAS），
∴CE=DE=2，
在Rt△OCE中，OC=1.5，CE=2，
根據勾股定理得，OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵OE∥AB，OA=OC，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AB=2OE=5；

（3）如圖2，連接CD交OE于H，連接OD，
由（1）知，∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，
∴OE⊥CD，DH=CH=$\frac{1}{2}$CD，
在Rt△OCE中，OC=1.5，CE=2，OE=$\frac{5}{2}$，
∵S_△OCE=$\frac{1}{2}$OC•CE=$\frac{1}{2}$OE•CH，
∴CH=$\frac{OC•CE}{OE}$=$\frac{6}{5}$，
∴DH=$\frac{6}{5}$，CD=2CH=$\frac{12}{5}$，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，CD=$\frac{12}{5}$，AC=2OA=3，
根據勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵OE∥AB，
∴△ADF的邊上的高h和DH相等，
∴h=DH=$\frac{6}{5}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$AD•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{5}$×$\frac{6}{5}$=$\frac{27}{25}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定，全等三角形的判斷和性質，勾股定理，垂徑定理，判斷出△COE≌△DOE（SAS）和求出CH是解本題的關鍵，是一道中等難度的中考常考題．