Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，點E在邊AC上，過點E作EF⊥AB交AB于點F，EH∥AB交BC于點H，邊點H作HG⊥AB于點G，設EF=x．
（1）當x為何值時，△AEF與△CEH全等，并說明理由；
（2）點P為EH上一點，且∠FPG=90°，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由△AFE∽△ACB，推出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，推出$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$，推出AE=$\frac{5}{4}$x，AF=$\frac{3}{4}$x，EC=6-$\frac{5}{4}$x，由△AEF與△CEH全等，∠A=∠CEH，推出EC=AF，可得6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，解方程即可．
（2）以FG為直徑作⊙O，作OM⊥EH于M．當OM≤OF時，EH上存在點P，使得∠FPG=90°，列出不等式即可解決問題．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=10，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴AC=6，BC=8，
∵∠A=∠A．∠AFE=∠C=90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$x，AF=$\frac{3}{4}$x，EC=6-$\frac{5}{4}$x，
∵△AEF與△CEH全等，∠A=∠CEH，
∴EC=AF，
∴6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，
∴x=3．

（2）以FG為直徑作⊙O，作OM⊥EH于M．
當OM≤OF時，EH上存在點P，使得∠FPG=90°，
∵△CEH∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EH}{AB}$，
∴EH=$\frac{5}{3}$（6-$\frac{5}{4}$x），
∴x≤$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{3}$（6-$\frac{5}{4}$x），
∴x≤$\frac{120}{49}$，∵x＞0，
∴0＜x≤$\frac{120}{49}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、矩形的性質、解直角三角形、圓的有關知識，解題的關鍵是學會用方程的思想思考問題，學會利用輔助圓解決直角問題，屬于中考常考題型．