Question

1．如圖，△ABC中，AC的中垂線交AC、AB于點D、F，BE⊥DF交DF延長線于點E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，則四邊形BCDE的面積是18$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由AF=BF得到F為AB的中點，又DF垂直平分AC，得到D為AC的中點，可得出DF為三角形ABC的中位線，根據三角形中位線定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的長求出DF的長，由兩直線平行同旁內角互補得到∠C=90°，同時由DE與EB垂直，ED與DC垂直，根據垂直的定義得到兩個角都為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形BCDE為矩形，在直角三角形ADF中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值，由∠A=30°，DF的長，求出AD的長，即為DC的長，由矩形的長BC于寬CD的乘積即可求出矩形BCED的面積．

解答 解：∵AF=BF，即F為AB的中點，又DE垂直平分AC，即D為AC的中點，
∴DF為三角形ABC的中位線，
∴DE∥BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
又∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE，DE⊥AC，
∴∠CDE=∠E=90°，
∴四邊形BCDE為矩形，
∵BC=6，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=3，
∴tan30°=$\frac{DF}{AD}$，即AD=3$\sqrt{3}$，
∴CD=AD=3$\sqrt{3}$，
則矩形BCDE的面積S=CD•BC=18$\sqrt{3}$．
故答案為：18$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了矩形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，銳角三角函數定義，三角形的中位線定理，以及平行線的性質，是一道多知識的綜合性題，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．