Question

13．已知關于x的方程x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2（x+$\frac{1}{x}$）=6，那么x+$\frac{1}{x}$的值為-4或2．．

Answer 1

分析 由于x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2，所以原方程可變形為（x+$\frac{1}{x}$）²+2（x+$\frac{1}{x}$）-8=0，把x+$\frac{1}{x}$看成一個整體，解關于（x+$\frac{1}{x}$）的二元一次方程求出它的根．

解答 解：x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2（x+$\frac{1}{x}$）=6，
所以x²+2+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2（x+$\frac{1}{x}$）-8=0，
即（x+$\frac{1}{x}$）²+2（x+$\frac{1}{x}$）-8=0，
設x+$\frac{1}{x}$=y，則原式變形為y²+2y-8=0
解得，y₁=-4，y₂=2．
所以x+$\frac{1}{x}$=-4或x+$\frac{1}{x}$=2．
故答案為：-4或2．

點評 本題考查了完全平方公式、換元法和十字相乘法，把x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$變形為（x+$\frac{1}{x}$）²-2，利用換元法是解決本題的關鍵．