Question

6．如圖，P為正方形ABCD邊BC的中點，DE⊥AP于點E，F(xiàn)為AP上一點，AE=EF，∠CDF的平分線交AP的延長線于點G，連接CG，下列結論：①DE=2AE；②AG⊥CG；③△DEG為等腰直角三角形；④$\frac{CG}{AG}=\frac{1}{3}$．其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是正方形，于是得到∠BAD=∠B=90°，AB=BC，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAE=ADE，推出△ABP∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{BP}=\frac{DE}{AE}$，由P為正方形ABCD邊BC的中點，于是得到BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，求得DE=2AE；故①正確；通過△FDG≌△CDG，得到∠DFG=∠DCG，根據(jù)鄰補角的定義得到∠AFD+∠DFG=180°，推出A，G，C，D四點共圓于是得到∠AGC=90°，AG⊥CG；故②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AGD=∠CGD=$\frac{1}{2}∠AGC=45°$，求出∠EDG=45°，得到△DEG為等腰直角三角形；故③正確；等量代換得到FG=EF=AE=$\frac{1}{3}$AG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=FG=$\frac{1}{3}$AG，于是得到$\frac{CG}{AG}=\frac{1}{3}$；故④正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=90°，AB=BC，
∵DE⊥AP于點E，
∴∠AED=90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=ADE，
∴△ABP∽△ADE，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{DE}{AE}$，
∵P為正方形ABCD邊BC的中點，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{DE}{AE}$=2，
∴DE=2AE；故①正確；
∵AE=EF，
∴AD=DF，
∴∠DAE=∠DFE，
∵DG平分∠FDC，
∴∠FDG=∠CDG，
在△FDG與△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{∠FDG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△FDG≌△CDG，
∴∠DFG=∠DCG，
∵∠AFD+∠DFG=180°，
∴∠DAF+∠DCG=180°，
∴A，G，C，D四點共圓，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠AGC=90°，AG⊥CG；故②正確；
∵△FDG≌△CDG，
∴∠AGD=∠CGD=$\frac{1}{2}∠AGC=45°$，
∴∠EDG=45°，
∴△DEG為等腰直角三角形；故③正確；
∴EG=DE=2AE=2EF，
∴FG=EF=AE=$\frac{1}{3}$AG，
∵△FDG≌△CDG，
∴CG=FG=$\frac{1}{3}$AG，
∴$\frac{CG}{AG}=\frac{1}{3}$；故④正確．
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．