Question

18．如圖，半圓O直徑DE=12，Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=90°，∠ABC=30°．半圓O從左到右運動，在運動過程中，點D，E始終在直線BC上，半圓O在△ABC的左側．
（1）當△ABC的一邊與半圓O相切時，請畫出符合題意得圖形．
（2）當△ABC的一邊與半圓O相切時，如果半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC的三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）因為點D，E始終在直線BC，所以當△ABC的一邊與半圓O相切時只有三種情況，再分別畫出即可；
（2）本題要分當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分的只有圖2與圖3所示的兩種情形分別計算即可．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分的只有圖2與圖3所示的兩種情形．
①如圖2，設OA與半圓O的交點為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，所求重疊部分面積為：S_扇形EOM=$\frac{1}{4}$π×6²=9π（cm²）
②如圖3，設AB與半圓O的交點為P，連接OP，過點O作OH⊥AB，垂足為H．
則PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm
則OH=3cm，BH=3$\sqrt{3}$cm，BP=6$\sqrt{3}$cm，S_△POB=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$（cm²）
又因為∠DOP=2∠DBP=60°
所以S_扇形DOP=6π（cm²）
所求重疊部分面積為：S_△POB+S_扇形DOP=9$\sqrt{3}$+6π（cm²），
綜上可知當半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC的三邊圍成的區域有重疊部分則重疊部分的面積是9π或9$\sqrt{3}$+6π．

點評 此題主要考查了切線的性質、扇形的面積公式，直角三角形的面積公式，銳角三角函數的概念、根據直線與圓的位置關系畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．