Question

16．如圖，雙曲線$y=\frac{k}{x}$（x＞0）經過點A（1，6）、點B（2，n），點P的坐標為（t，0），且-1≤t＜3，則△PAB的最大面積為6．

Answer 1

分析 根據待定系數法求得反比例函數的解析式，進而求得B的坐標，過B作BD⊥y軸，延長AB交x軸于C，連接AD并延長交x軸于P₁，根據待定系數法求得直線AB和直線AD的解析式，即可求得交點C和P的坐標，由S_△PAB=S_△PAC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$（3-t）×6-$\frac{1}{2}$（3-t）×3=$\frac{3}{2}$（3-t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，根據一次函數的性質即可求得最大值．

解答 解：把A（1，6）代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式為y=$\frac{6}{x}$，
把B（2，n）代入反比例解析式得：n=3，即B（2，3），
過B作BD⊥y軸，延長AB交x軸于C，連接AD并延長交x軸于P₁，
由A（1，6），B（2，3），D（0，3），
∴直線AB為y=-3x+9，直線AD為y=3x+3，
令y=0，解得x=3和x=-1，
∴C（3，0），P₁（-1，0），
∵點P的坐標為（t，0），且-1≤t＜3，
∴PC=3-t，
∵S_△PAB=S_△PAC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$（3-t）×6-$\frac{1}{2}$（3-t）×3=$\frac{3}{2}$（3-t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，
∴當t=-1時，S_△PAB的值最大，最大值=-$\frac{3}{2}$×（-1）+$\frac{9}{2}$=6．
故答案為6．

點評 本題考查了待定系數法求函數的解析式，反比例函數系數k的幾何意義，三角形面積等，得出面積的一次函數是解題的關鍵．