Question

5．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，求b．
（2）若a=5，b=10當BE⊥AC時，求出此時AE的長．
（3）設AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，求a、b應滿足什么條件，并求出此時x的值．

Answer 1

分析 （1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到結果；
（2）由BE⊥A，得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代換得到∠1=∠2，推出△AEB∽△BAC，得到比例式，即可得到結論；
（3）點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°當△BAE∽△CEB（如圖2），∠1=∠BCE，又BC∥AD，由平行線的性質得到∠2=∠BCE，推出△BAE∽△EDC，得到比例式，進而可得得到一元二次方程x²-bx+a²=0，根據方程根的情況，得到結論．

解答 解：（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$，
∴AC=13，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∴b=12；
（2）如圖1，
∵BE⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，
又∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
又∠BAE=∠ABC=90°，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
即$\frac{AE}{5}=\frac{5}{10}$，
∴$AE=\frac{5}{2}$；
（3）∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，
∴當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°
所以當△BAE∽△CEB（如圖2）

則∠1=∠BCE，
又BC∥AD，
∴∠2=∠BCE，
∴∠1=∠2，
又∠BAE=∠EDC=90°，
∴△BAE∽△EDC，
∴$\frac{AE}{DC}=\frac{AB}{DE}$，
即$\frac{x}{a}=\frac{a}{b-x}$，
∴x²-bx+a²=0，
即${（x-\frac{b}{2}）^2}=\frac{{{b^2}-4{a^2}}}{4}$，
當b²-4a²≥0，
∵a＞0，b＞0，
∴b≥2a，
即b≥2a時，$x=\frac{{b±\sqrt{{b^2}-4{a^2}}}}{2}$，
綜上所述：當a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時$x=\frac{1}{2}b$（或x=a）；
當a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時$x=\frac{{b±\sqrt{{b^2}-4{a^2}}}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，一元二次方程根的情況，題目的綜合性較強，難度中等，對學生的綜合解題能力要氣較高，是一道不錯的中考壓軸題，解題時要注意分類討論數學方法的運用．