Question

13．已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，點H為CD上任意一點（不與C、D重合），過點H作CD的垂線，交BD于點E，連接AE．
（1）如圖1，線段EH、CH、AE之間的數量關系是EH²+CH²=AE²；
（2）如圖2，將△DHE繞點D順時針旋轉，當點E、H、C在一條直線上時，求證：AE+EH=CH．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過E作EM⊥AD于M，由四邊形ABCD是菱形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，通過△DME≌△DHE，根據全等三角形的性質得到EM=EH，DM=DH，等量代換得到AM=CH，根據勾股定理即可得到結論；
（2）如圖2，根據菱形的性質得到∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，在CH上截取HG，使HG=EH，推出△DEG是等邊三角形，由等邊三角形的性質得到∠EDG=60°，推出△DAE≌△DCG，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）EH²+CH²=AE²，
如圖1，過E作EM⊥AD于M，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵EH⊥CD，
∴∠DME=∠DHE=90°，
在△DME與△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠DHE}\\{∠MDE=∠HDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△DHE，
∴EM=EH，DM=DH，
∴AM=CH，
在Rt△AME中，AE²=AM²+EM²，
∴AE²=EH²+CH²；
故答案為：EH²+CH²=AE²；

（2）如圖2，
∵菱形ABCD，∠ADC=60°，
∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，
∵EH⊥CD，
∴∠DEH=60°，
在CH上截取HG，使HG=EH，
∵DH⊥EG，∴ED=DG，
又∵∠DEG=60°，
∴△DEG是等邊三角形，
∴∠EDG=60°，
∵∠EDG=∠ADC=60°，
∴∠EDG-∠ADG=∠ADC-∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△DAE與△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCG，
∴AE=GC，
∵CH=CG+GH，
∴CH=AE+EH．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，菱形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．