Question

3．如圖，在一次戶外研學活動中，老師帶領學生去測一條東西流向的河流的寬度（把河兩岸看做平行線，河寬即兩岸之間的垂線段的長度）．某同學在河南岸A處觀測到河對岸水邊有一棵樹P，測得P在A北偏東60°方向上，沿河岸向東前行20米到達B處，測得P在B北偏東45°方向上．求河寬（結果保留一位小數．$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）．

Answer 1

分析 過P作PC⊥AB于點C，根據題意得到∠PAC=30°，∠PBC=45°，根據正切的定義得到AC=$\sqrt{3}$PC，根據題意列方程，解方程即可．

解答 解：過P作PC⊥AB于點C，
∴∠ACP=90°．
由題意可知，∠PAC=30°，∠PBC=45°．
∴∠BPC=45°．
∴BC=PC．
在Rt△ACP中，$AC=\frac{PC}{tan∠PAC}=\sqrt{3}PC$． 
∵AB=20，
∴$20+PC=AC=\sqrt{3}PC$．
∴$PC=\frac{20}{{\sqrt{3}-1}}$≈27.3．
答：河流寬度約為27.3米．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數的定義、正確標注方向角是解題的關鍵．