Question

13．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC=40cm，過點A作AD⊥BC，垂足為D，∠ACD=75°．
（1）求點C到AB的距離；
（2）求線段AD的長度．

Answer 1

分析 （1）過C點作CE⊥AB于E，如圖，在Rt△BCD中，利用含30°的直角三角形三邊的關系易得CH=$\frac{1}{2}$BC=20；
（2）在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形三邊的關系易得CH=20，BH=$\sqrt{3}$CH=20$\sqrt{3}$，再利用三角形外角性質計算出∠BAC=45°，則△ACH為等腰直角三角形，所以AH=CH=20，然后利用面積法求AD．

解答 解：（1）過C點作CE⊥AB于E，如圖，
在Rt△BCD中，∵∠B=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×40=20，
即點C到AB的距離為20cm；
（2）在Rt△BCD中，∵∠B=30°，
∴CH=20，BH=$\sqrt{3}$CH=20$\sqrt{3}$，
∵∠ACD=∠B+∠BAC，
∴∠BAC=75°-30°=45°，
∴△ACH為等腰直角三角形，
∴AH=CH=20，
∴AB=20$\sqrt{3}$+20，
∵$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$CH•AB，
∴AD=$\frac{20×（20\sqrt{3}+20）}{40}$=10$\sqrt{3}$+10．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關鍵是利用面積法求AD．