Question

2．在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）如圖1，若D是BC邊上的中點，∠A=45°，DF=3，求AC的長；
（2）如圖2，D是線段BC上的任意一點，求證：BG=DE+DF；
（3）在圖3，D是線段BC延長線上的點，猜想DE、DF與BG的關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）連結AD．根據△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根據等腰直角三角形的性質即可得到結論；
（2）連結AD．根據△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；
（3）連結AD．根據△ABC的面積=△ABD的面積-△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE-DF=BG．

解答 解：如圖1，連結AD．
則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，即$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG，
∵D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC，
∴DE=DF=3，
∴BG=6，
∵∠A=45°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BG=6$\sqrt{2}$，
∴AC=6$\sqrt{2}$；

（2）證明：如圖2，連結AD．
則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，
即$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG；

（3）DE-DF=BG，
證明：如圖3，連接AD，則△ABC的面積=△ABD的面積-△ACD的面積，
即$\frac{1}{2}$AB•DE-$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE-DF=BG．

點評 本題考查了三角形的面積和等腰三角形的性質，本題關鍵是根據三角形面積的兩種不同表示方法求解．