Question

18．如圖，雙曲線$y=\frac{2}{x}$（x＞0）經過四邊形OABC的頂點A、C，∠ABC=90°，OC平分OA與x軸正半軸的夾角，AB∥x軸．將△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′點落在OA上，則
（1）△OCD的面積是1；
（2）四邊形OABC的面積是2．

Answer 1

分析 （1）延長BC，交x軸于點D，設點C（x，y），AB=a，由角平分線的性質得CD=CB′，則△OCD≌△OCB′，再由翻折的性質得BC=B′C，根據反比例函數的性質，可得出S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy，
（2）根據S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy，于是得到S_△OCB′=$\frac{1}{2}$xy，由AB∥x軸，得點A（x-a，2y），由題意得2y（x-a）=2，從而得出三角形ABC的面積等于$\frac{1}{2}$ay，即可得出答案．

解答 解：（1）延長BC，交x軸于點D，
設點C（x，y），AB=a，
∵OC平分OA與x軸正半軸的夾角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′，
再由翻折的性質得，BC=B′C，
∵雙曲線$y=\frac{2}{x}$（x＞0）經過四邊形OABC的頂點A、C，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy=1；

（2）∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy=1，
∴S_△OCB′=$\frac{1}{2}$xy=1，
由翻折變換的性質和角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得BC=B′C=CD，
∴點A、B的縱坐標都是2y，
∵AB∥x軸，
∴點A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴xy-ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ay=$\frac{1}{2}$，
∴S_OABC=S_△OCB′+S_△AB'C+S_△ABC=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=2．
故答案為：1，2．

點評 本題考查了翻折的性質，反比例函數的性質，角平分線的性質，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．