Question

19．在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數的坐標三角形．如圖中的一次函數圖象與x軸、y軸分別相交于點E，F，則△OEF為此函數的坐標三角形．
（1）求函數y=$\frac{3}{4}$x+6的坐標三角形的三條邊長；
（2）若函數y=$\frac{3}{4}$x+b（b為常數）的坐標三角形的周長為12，求此三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據一次函數圖象上點的坐標特征可求出點E、F的坐標，再利用勾股定理求出EF的長即可；
（2）根據一次函數圖象上點的坐標特征可求出點E、F的坐標，結合勾股定理可求出EF的長，根據函數y=$\frac{3}{4}$x+b（b為常數）的坐標三角形的周長為12，即可求出|b|的值，代入三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）當x=0時，y=6，
∴點F的坐標為（0，6），
∴OF=6；
當y=0時，$\frac{3}{4}$x+6=0，
解得：x=-8，
∴點E的坐標為（-8，0），
∴OE=8．
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=10．
（2）當x=0時，y=b，
∴點F的坐標為（0，b），
∴OF=|b|；
當y=0時，$\frac{3}{4}$x+b=0，
解得：x=-$\frac{4}{3}$b，
∴點E的坐標為（-$\frac{4}{3}$b，0），
∴OE=$\frac{4}{3}$|b|．
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5}{3}$|b|．
∵函數y=$\frac{3}{4}$x+b（b為常數）的坐標三角形的周長為12，
∴|b|+$\frac{4}{3}$|b|+$\frac{5}{3}$|b|=4|b|=12，
解得：|b|=3．
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$•OE•OF=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$|b|×|b|=$\frac{2}{3}$b²=6．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，根據一次函數圖象上點的坐標特征找出點E、F的坐標是解題的關鍵．