Question

9．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2$\sqrt{3}$，延長AD到E，使AE=2AD，連接BE．
（1）求證：△ABE為等邊三角形；
（2）將一塊含60°角的直角三角板PMN如圖放置，其中點P與點E重合，且∠NEM=60°，邊NE與AB交于點G，邊ME與AC交于點F．求證：BG=AF；
（3）在（2）的條件下，求四邊形AGEF的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明∠ABD=90°-∠BAE=30°，可知AB=2AD，由因為AE=2AD，所以AB=AE，從而可知△ABE是等邊三角形．
（2）由（1）可知：∠ABE=∠AEB=60°，AE=BE，然后求證△BEG≌△AEF即可得出BG=AF；
（3）由于S_{四邊形AGEF}=S_△AEG+S_△AEF=S_△AEG+S_△BEG=S_△ABE，故只需求出△ABE的面積即可．

解答 解：（1）AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$BAC=60°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠BAE=30°，
∴AB=2AD，
∵AE=2AD，
∴AB=AE，
∵∠BAE=60°，
∴△ABE是等邊三角形．
（2）∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，
AE=BE，
由（1）∠CAE=60°
∴∠ABE=∠CAE，
∵∠NEM=∠BEA=60°，
∴∠NEM-∠AEN=∠BEA-∠AEN，
∴∠AEF=∠BEG，
在△BEG與△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBE=∠FAE}\\{BE=AE}\\{∠BEG=∠AEF}\end{array}\right.$
∴△BEG≌△AEF（ASA）
∴BG=AF；
（3）由（2）可知：△BEG≌△AEF，
∴S_△BEG=S_△AEF，
∴S_{四邊形AGEF}=S_△AEG+S_△AEF
=S_△AEG+S_△BEG
=S_△ABE
∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形AGEF}=4$\sqrt{3}$

點評 本題考查全等三角形的判定，涉及等邊三角形的性質，三角形面積計算問題，綜合程度較高．