Question

如圖1，對于平面上不大于的∠MON，我們給出如下定義：若點P在∠MON的內部或邊界上，作PE⊥OM于點E，PF⊥ON于點F，則稱PE+PF為點P相對于∠MON的“點角距離”，記為．

如圖2，在平面直角坐標系xOy中，對于，點P為第一象限內或兩條坐標軸正半軸上的動點，且滿足5，點P運動形成的圖形記為圖形G．

（1）滿足條件的其中一個點P的坐標是 ，圖形G與坐標軸圍成圖形的面積等于 ；

（2）設圖形G與x軸的公共點為點A，已知，，求的值；

（3）如果拋物線經過（2）中的A，B兩點，點Q在A，B兩點之間的拋物線上（點Q可與A，B兩點重合），求當取最大值時，點Q 的坐標．

Answer 1

（1）（5，0），；（2）；（3）Q ．

【解析】

試題分析：（1）點的坐標滿足，0≤x≤5，0≤y≤5均可，根據題意求出圖形G與坐標軸圍成圖形的面積；

（2）如圖1，作ME⊥OB于點E，MF⊥x軸于點F，則MF =1，作MD∥x軸，交OB于點D，作BK⊥x軸于點K．可求得直線OB對應的函數關系式，從而得到點D的坐標，算出DM、OB的長，求出sin∠AOB的值，sin∠MDE的值，從而得到 ME的長，得到的值；

（3）由 拋物線經過，兩點，可以求出拋物線對應的函數關系式，如圖2，作QG⊥OB于點G，QH⊥x軸于點H．作QN∥x軸，交OB于點N，設點Q的坐標為，其中3≤m≤5，則，同（2）得sin∠QNG=sin∠AOB= ，故 點N的坐標為，NQ=，得到 QG，從而得到的解析式，配方即可得出當（在3≤m≤5范圍內）時，取得最大值（），此時點Q的坐標為．

試題解析：【解析】
（1）滿足條件的其中一個點P的坐標是；

（說明：點的坐標滿足，0≤x≤5，0≤y≤5均可）

圖形G與坐標軸圍成圖形的面積等于．

（2）如圖1，作ME⊥OB于點E，MF⊥x軸于點F，則MF =1，作MD∥x軸，交OB于點D，作BK⊥x軸于點K．由點B的坐標為，可求得直線OB對應的函數關系式為，∴ 點D的坐標為，，∴ OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，∴ ME=DM•sin∠MDE=，∴ ；

（3）∵ 拋物線經過，兩點，∴， 解得， ∴ 拋物線對應的函數關系式為，如圖2，作QG⊥OB于點G，QH⊥x軸于點H．作QN∥x軸，交OB于點N，設點Q的坐標為，其中3≤m≤5，則，同（2）得sin∠QNG=sin∠AOB= ，∴ 點N的坐標為，NQ=，∴ QG=NQsin∠QNG=，∴=QG+QH= ，

∴ 當（在3≤m≤5范圍內）時，取得最大值（），此時點Q的坐標為．

考點：1．新定義；2．二次函數的應用．