Question

如圖，在正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH，其中頂點E，F，G分別在AB，BC，FD上．

（1）求證：△EBF∽△FCD；

（2）連接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

Answer 1

(1)證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質得到∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．由∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，得到 ∠EFB =∠FDC．故△EBF∽△FCD；

（2）在Rt△CDF中，由勾股定理得到DF的長，由△EBF∽△FCD，得到 BE的長，再由勾股定理得到GH=的長，由于DG=DF－FG=，故可得到 tan∠HDG的值．

試題解析：（1）證明：∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．又∵ 點F在BC上，點G在FD上，∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴ ∠EFB =∠FDC．∴ △EBF∽△FCD；

（2）【解析】
∵ BF=3，BC=CD=12，∴ CF=9，DF=，由（1）得 ，∴ BE=，∴GH=FG=EF=，DG=DF－FG=，∴ tan∠HDG=．

考點：1．正方形的性質；2．相似三角形的判定與性質；3．解直角三角形．