Question

13．如圖，在直角坐標(biāo)系中直線AB分別交x軸，y軸與A（-6，0）、B（0，-8）兩點(diǎn)，現(xiàn)有一半徑為1的動(dòng)圓，圓心由A點(diǎn)，沿著AB方向以每秒1個(gè)單位的速度做平移運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過幾秒后動(dòng)圓與坐標(biāo)軸相切．

Answer 1

分析 在直角三角形OAB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得AB=10，設(shè)⊙經(jīng)過t秒后與坐標(biāo)軸相切，
（1）當(dāng)⊙經(jīng)過t秒后到達(dá)P點(diǎn)與x軸相切，過P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D，則PD=1，由△APD∽△ABO中的成比例線段求解；
（2）當(dāng)⊙經(jīng)過t秒后到達(dá)K點(diǎn)與y軸相切，過k點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為E，則KE=1，KB=10-t；由△KEB∽△ABO中的成比例線段求解；
（3）當(dāng)⊙經(jīng)過t秒后到達(dá)Q點(diǎn)與y軸相切，過q點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為c，則QC=1，BQ=t-10，由△QBC∽△ABO中的成比例線段求解；

解答 解：∵A（-6，0）、B（0，-8）
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
（1）當(dāng)⊙經(jīng)過t秒后到達(dá)P點(diǎn)與x軸相切，過P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D，則PD=1；
由△APD∽△ABO得，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{1}{8}$，
解得t=$\frac{5}{4}$；
（2）當(dāng)⊙經(jīng)過t秒后到達(dá)K點(diǎn)與y軸相切，過k點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為E，則KE=1；KB=10-t；
由△KEB∽△ABO得，$\frac{KB}{AB}$=$\frac{KE}{OA}$，即$\frac{10-t}{10}$=$\frac{1}{6}$，
解得t=$\frac{25}{3}$．
（3）當(dāng)⊙經(jīng)過t秒后到達(dá)Q點(diǎn)與y軸相切，過q點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為c，則QC=1；BQ=t-10，
由△QBC∽△ABO得，$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{CQ}{OA}$，即$\frac{t-10}{10}$=$\frac{1}{6}$，解得t=$\frac{35}{3}$，
綜上所述，t=$\frac{5}{4}$s或$\frac{25}{3}$s或$\frac{35}{3}$s時(shí)，動(dòng)圓與坐標(biāo)軸相切．

點(diǎn)評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．