Question

8．在綜合實踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點A處測得河對岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達B處，測得河對岸電線桿D位于北偏東30°方向，此時，其他同學測得CD=10米．請根據這些數據求出河的寬度．（結果保留根號）

Answer 1

分析 如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，設CK=HB=x，根據tan30°=$\frac{HD}{BH}$列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，

設CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK-AB=x-30，
∴HD=x-30+10=x-20，
在RT△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°=$\frac{HD}{BH}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{x-20}{x}$，
解得x=30+10$\sqrt{3}$．
∴河的寬度為（30+10$\sqrt{3}$）米．

點評 本題考查解直角三角形的應用、方向角、三角函數等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，學會利用三角函數的定義，列出方程解決問題，屬于中考常考題型．