Question

7．在△ABC中，AC=25，AB=35，S_△ABC=350，點D為邊AC上一點，且AD=5，點E，F是邊AB上的動點（點F在點E的左邊），且∠EDF=∠A，設AE=x，AF=y．
（1）如圖1，CH⊥AB，垂足為點H，則CH=20，tan A=$\frac{4}{3}$；
（2）如圖2，當點E，F在邊AB上時，求y關于x的關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）連接CE，當△DEC和△ADF相似時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的面積得到CH的值，根據勾股定理得到AH，然后根據三角函數的定義即可得到結論；
（2）過點D作DG⊥AB，交AB于G，先證出△EDF∽△EAD，得出ED²=AE•EF，再求出DG、AG，最后根據EG=x-3，DE²=4²+（x-3）²得出4²+（x-3）²=x•（x-y），
再進行整理即可；
（3）先證出∠AFD=∠EDC，再分兩種情況討論：①當∠A=∠CED時，得出$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AE}$，$\frac{5}{25}$=$\frac{y}{x}$，再把y=6-$\frac{25}{x}$代入得出5（6-$\frac{25}{x}$）=x，再解方程即可；②當∠A=∠DCE時，根據△ECD∽△DAF得出$\frac{CD}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$，$\frac{20}{y}$=$\frac{x}{5}$，再把y=6-$\frac{25}{x}$代入得出5（6-$\frac{25}{x}$）=x，求出方程的解即可．

解答 解：（1）如圖1，∵CH⊥AB，AB=35，S_△ABC=350，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=350，
∴CH=20，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=15，
∴tan A=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{20}{15}$=$\frac{4}{3}$，
故答案為：20，$\frac{4}{3}$；

（2）如圖2，過點D作DG⊥AB，交AB于G，
∵∠EDF=∠EAD，∠DEF=∠AED，
∴△EDF∽△EAD，
∴$\frac{ED}{EF}$=$\frac{AE}{ED}$，
∴ED²=AE•EF，
∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴DG=4，AG=3，
∴EG=x-3，
∴DE²=4²+（x-3）²，
∴4²+（x-3）²=x•（x-y），
∴y=6-$\frac{25}{x}$ （$\frac{25}{6}$≤x≤35）；
（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，
∴∠AFD=∠EDC，
①當∠A=∠CED時，
∵∠EDF=∠A，
又∵∠CED=∠FDE，
∴DF∥CE
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AE}$，∴$\frac{5}{25}$=$\frac{y}{x}$，
∵y=6-$\frac{25}{x}$，
∴5（6-$\frac{25}{x}$）=x，
x₁=25，x₂=5；
②當∠A=∠DCE時，
∵∠EDF=∠A，
∴△ECD∽△DAF
∴$\frac{CD}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{20}{y}$=$\frac{x}{5}$，
∵y=6-$\frac{25}{x}$，
∴5（6-$\frac{25}{x}$）=x，
∴x=$\frac{125}{6}$，
∴當△DEC和△ADF相似時，x=25或x=5或x=$\frac{125}{6}$．

點評 此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數，關鍵是根據題意作出輔助線，構造相似三角形．