Question

4．已知二次函數y=ax^2₊bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列五個結論：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數），其中正確的結論有③④⑤．

Answer 1

分析 首先根據開口方向確定a的取值范圍，根據對稱軸的位置確定b的取值范圍，根據拋物線與y軸的交點確定c的取值范圍，判斷①；令x=-1時，代入二次函數解析式，可判斷②；當x=2時，代入二次函數解析式，可判斷③；由對稱軸x=1=-$\frac{b}{2a}$，可得a=$-\frac{b}{2}$，代入②的結論，可判斷④；根據拋物線的對稱軸為直線x=1，開口向下，得到當x=1時，y有最大值，所以am²+bm+c＜a+b+c（m≠1），整理得到m（am+b）＜a+b（m≠1），則可對⑤進行判斷．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸x=1=-$\frac{b}{2a}$，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①錯誤；

根據圖象知道當x=-1時，y=a-b+c＜0，
∴a+c＜b，故②錯誤；

根據圖象知道當x=2時，y=4a+2b+c＞0，故③正確；

∵對稱軸x=1=-$\frac{b}{2a}$，
∴a=$-\frac{b}{2}$，
由②得b＞a+c，
∴b＞-$\frac{b}{2}$+c，
∴3b＞2c
故④正確；

∵由圖象知，拋物線的對稱軸為直線x=1，開口向下，
∴當x=1時，y有最大值，
∴am²+bm+c＜a+b+c（m≠1），
整理得到m（am+b）＜a+b（m≠1），
故⑤正確；
故答案為：③④⑤．

點評 此題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換是解答此題的關鍵．