Question

19．關于x的方程9x²-9sinA•x-2=0的兩根的平方和是1，其中∠A為銳角△ABC的一個內角．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的兩邊長m、n滿足方程y²-6y+k²+4k+13=0（k為常數），求△ABC的第三邊．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程根與系數的關系及完全平方公式，即可求出sinA的值；
（2）根據根的判別式首先求出k的值，然后分兩種情況：①∠A是底角；②∠A是頂角，分別求出△ABC的第三邊的長度．

解答 解：（1）設關于x的方程9x²-9sinA•x-2=0的兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=sinA，x₁•x₂=-$\frac{2}{9}$．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=sin²A+$\frac{4}{9}$．
∵方程9x²-9sinA•x-2=0的兩根的平方和是1，
∴sin²A+$\frac{4}{9}$=1，
∴sinA=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵∠A為銳角，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；

（2）依題意，知m、n是方程y²-6y+k²+4k+13=0的兩根，
則△≥0，
∴36-4（k²+4k+13）≥0，
∴-（k+2）²≥0，
∴（k+2）²≤0，
又∵（k+2）²≥0，
∴k=-2．
把k=-2代入方程，得y²-6y+9=0，
解得y=3，
∴m=n=3，
∴△ABC是等腰三角形．
分兩種情況：①∠A是底角；②∠A是頂角．
①當∠A是底角時，如圖，△ABC中，AB=BC=3，作底邊AB上的高BD，則AB=2AD．
在直角△ABD中，
∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=2，
∴AC=4；
②當∠A是頂角時，如圖，△ABC中，AB=AC=3，作腰AC上的高BD．
在直角△ABD中，∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=2，
∴CD=AC-AD=1．
在直角△ABD中，∵∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
綜上可知，△ABC的第三邊的長度為4或$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查了根的判別式，根與系數的關系，等腰三角形的性質，三角函數的定義，綜合性強，難度較大．