Question

9．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：（　�。�
①CE=CF；
②線段EF的最小值為2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)AD=2時(shí)，EF與半圓相切；
④若點(diǎn)F恰好落在$\widehat{BC}$上，則AD=2$\sqrt{5}$．

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①④

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE=CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE=CF．
（2）根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO=90°，從而得到EF與半圓相切．
（4）利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到△DBF是等邊三角形，只需求出BF就可求出DB，進(jìn)而求出AD長．

解答 解：①連接CD，如圖1所示．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF，
∴CE=CD=CF，故①正確；

②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示；
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4$\sqrt{3}$，
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$；
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為2$\sqrt{3}$，
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD，
∴線段EF的最小值為4$\sqrt{3}$，故②錯(cuò)誤．

③當(dāng)AD=2時(shí)，連接OC，如圖3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
∴CA=CO，∠ACO=60°，
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2，
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，
∴OC⊥EF，
∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切，故③正確；

④當(dāng)點(diǎn)F恰好落在$\widehat{BC}$上時(shí)，連接FB、AF，如圖4所示，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴ED⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠ACB，
∴ED∥BC，
∴△FHC∽△FDE，
∴$\frac{FH}{FD}$=$\frac{FC}{FE}$，
∵FC=$\frac{1}{2}$EF，
∴FH=$\frac{1}{2}$FD，
∴FH=DH，
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°，
∴BF=BD，
∴∠FBH=∠DBH=30°，
∴∠FBD=60°，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB=30°，
∴FB=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DB=4，
∴AD=AB-DB=4，故④錯(cuò)誤；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．