Question

8．某研究所將某種材料加熱到1000℃時停止加熱，并立即將材料分為A、B兩組，采用不同工藝做降溫對比實驗，設降溫開始后經過xmin時，A、B兩組材料的溫度分別為yA℃、yB℃；yA、yB與x的函數關系式分別為yA=kx+b，yB=$\frac{1}{4}$（x-60）²+m（部分圖象如圖所示，當x=40時，兩組材料的溫度相同）．
（1）分別求yA、yB關于x的函數關系式；
（2）當A組材料的溫度降至120℃時，B組材料的溫度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么時刻，兩組材料溫差最大？

Answer 1

分析 （1）根據題意和函數圖象中的數據可以分別求得y_A、y_B與x的函數關系式；
（2）將y=120代入（1）中y_A與x的函數關系式，然后將此時x的值再代入（1）中y_B與x的函數關系式，本題得以解決；
（3）根據題意，將（1）中兩個函數解析式作差，然后根據0＜x＜40，即可解答本題．

解答 解：（1）由函數圖象可得，
當x=0時，y_B=1000，
即1000=$\frac{1}{4}$（0-60）²+m，得m=100，
∴y_B=$\frac{1}{4}$（x-60）²+100，
當x=40時，y_B=$\frac{1}{4}$（40-60）²+100=200，
∴y_A=kx+b過點（0，1000），（40，200），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1000}\\{40k+b=200}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-20}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
∴y_A=-20x+1000，
即y_A與x的函數關系式為y_A=-20x+1000，y_B與x的函數關系式為y_B=$\frac{1}{4}$（x-60）²+100；
（2）將y_A=120代入y_A=-20x+1000得，
120=-20x+1000，得x=44，
將x=44代入y_B=$\frac{1}{4}$（x-60）²+100，得
y_B=$\frac{1}{4}$（44-60）²+100=164，
即當A組材料的溫度降至120℃時，B組材料的溫度是164℃；
（3）由題意可得，
當0＜x＜40時，y_A-y_B=-20x+1000-$\frac{1}{4}$（x-60）²-100=-$\frac{1}{4}$x²+10x=-$\frac{1}{4}$（x-20）²+100，
∴當x=20時，兩組材料的溫差最大，此時兩組材料的溫差最大為100℃．

點評 本題考查二次函數的應用，解答此類問題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想和函數的思想解答本題．