Question

4．如圖所示，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，則重疊部分（△DGH）的面積為$\frac{75}{16}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理計算出AB=10，則AD=5，再證明G點為AH的點，然后證明△AHD∽△ABC，則利用相似比計算出HD=$\frac{15}{4}$，所以S_△ADH=$\frac{75}{8}$，于是得到S_△HGD=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{75}{16}$．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵D點為AB的中點，
∴AD=5，
∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1，
∵ED⊥AB，
∴∠A+∠2=90°，
而∠A+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD，
∵∠3+∠1=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=DG，
∴AG=HG，
∵∠HAD=∠BAC，
∴△AHD∽△ABC，
∴$\frac{HD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{HD}{6}$=$\frac{5}{8}$，解得HD=$\frac{15}{4}$，
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$•5•$\frac{15}{4}$=$\frac{75}{8}$，
∴S_△HGD=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{75}{16}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質．