Question

1．如圖，已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC，若△ABC為直角三角形，則AB=$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 應該分情況討論，因為不知道在三角形中哪一個是作為斜邊存在的．所以有三種情況，即：①若AC為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解．
②若AB為斜邊，則x²=（3-x）²+1，且滿足1＜x＜2．
③若BC為斜邊，則（3-x）²=1+x²，且滿足1＜x＜2．

解答 解：∵在△ABC中，AC=1，設AB=x，BC=3-x．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞3-x}\\{1+3-x＞x}\end{array}\right.$，
解得1＜x＜2；
①若AC為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解，
②若AB為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得x=$\frac{5}{3}$，滿足1＜x＜2，
③若BC為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得x=$\frac{4}{3}$，滿足1＜x＜2，
∴x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{4}{3}$；
故答案是：$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質．解此題的關鍵是進行全方面分析，注意一題多解．難易程度適中．