Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以邊AC上一點O為圓心，OA為半徑作圓，恰好經過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AB=$\sqrt{3}$，點E是半圓AmF上一動點，連接AE、AD、DE，填空：
①當$\widehat{AE}$的長度是$\frac{2}{3}$π時，四邊形ABDE是菱形；
②當$\widehat{AE}$的長度是$\frac{1}{3}$π或π時，△ADE是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，只要證明OD⊥BC即可證得結論；
（2）①當DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形，求出∠AOE的度數，半徑OD的長即可；
②分別從∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵D是BC的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODB=∠BAO=90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切線．

（2）解：①當DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形；

如圖2，設DE交AC于點M，連接OE，則DE=2DM，
∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵AB=BD，
∴四邊形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABD是等邊三角形，OD=CD•tan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°-∠C=60°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴$\widehat{AE}$的長度為：$\frac{120•π•1}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
故答案為：$\frac{2}{3}$π；

②若∠ADE=90°，則點E與點F重合，此時$\widehat{AE}$的長度為：$\frac{180•π•1}{180}$=π；
若∠DAE=90°，則DE是直徑，則∠AOE=2∠ADO=60°，此時$\widehat{AE}$的長度為：$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{1}{3}$π；
∵AD不是直徑，∴∠AED≠90°；
綜上可得：當$\widehat{AE}$的長度是$\frac{1}{3}$π或π時，△ADE是直角三角形．
故答案為：$\frac{1}{3}$π或π．

點評 此題屬于圓的綜合題、切線的判定與性質、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質以及弧長公式等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用用分類討論思想思考問題，屬于中考壓軸題．