Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，0），點B（6，4），點P是直線y=x上一點，若∠1=∠2，則點P的坐標是（3，3）．

Answer 1

分析 過B作BN⊥x軸于N，過P作PM⊥x軸于M，PC⊥BN于C，設P的坐標為（a，a），求出△MPA∽△CPB，得出比例式，即可求出a．

解答 解：
過B作BN⊥x軸于N，過P作PM⊥x軸于M，PC⊥BN于C，
則∠PCB=∠PMA=90°，∠PCN=∠CNM=∠PMN=90°，
所以四邊形MNCP是矩形，
∵四邊形MNCP是矩形，
∴PC=MN，PM=CN，∠CPM=90°，PC∥MN，
∵∠1=∠2，P在直線y=x上，
∴∠2+∠BPC=∠POA=45°=∠1+∠APM，
∴∠BPC=∠MPA，
設P的坐標為（a，a），
∵點A（2，0），點B（6，4），
∴PM=a，AM=a-2，PC=6-a，BC=4-a，
∵∠BPC=∠MPA，∠PCB=∠PMA=90°，
∴△MPA∽△CPB，
∴$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$，
∴$\frac{a}{6-a}$=$\frac{a-2}{4-a}$，
解得：a=3，
即P的坐標為（3，3），
故答案為：（3，3）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標，相似三角形的性質和判定，矩形的性質和判定等知識點，能求出△MPA∽△CPB是解此題的關鍵．