Question

17．如圖，拋物線y=x²+2x+k+1與x軸交與A、B兩點，與y軸交與點C（0，-3）．
（1）求拋物線的對稱軸及k的值；
（2）求拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；
（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限．
①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標．
②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=x²+2x+k+1與y軸交于點C（0，-3），即可將點C的坐標代入函數解析式，解方程即可求得k的值，由拋物線y=x²+2x+k+1即可求得拋物線的對稱軸為：x=-1；
（2）連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，求得A與C的坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線AC的解析式，則可求得此時點P的坐標；
（3）①設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），即可得S_△AMB=$\frac{1}{2}$×4×|（x+1）²-4|，由二次函數的最值問題，即可求得△AMB的最大面積及此時點M的坐標；
②設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），然后過點M作MD⊥AB于D，由S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD，根據二次函數的最值問題的求解方法，即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+2x+k+1與y軸交于點C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為：直線x=-1；

（2）如圖1，連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，
當y=0時，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左側，
∴A（-3，0），B（1，0），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0\\;}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-x-3，
當x=-1時，y=-（-1）-3=-2，
∴點P的坐標為：（-1，-2）；

（3）如圖2，點M是拋物線上的一動點，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），
∵AB=1-（-3）=4，
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵點M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴當x=-1時，即點M的坐標為（-1，-4）時，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設點M的坐標為：（x，（x+1）²-4），
如圖3，過點M作MD⊥AB于D，則
S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD
=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×（3+x）×[4-（x+1）²]+$\frac{1}{2}$×（-x）×[3+4-（x+1）²]
=-$\frac{3}{2}$（x²+3x-4）
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，y=（-$\frac{3}{2}$+1）²-4=-$\frac{15}{4}$，
即當點M的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為$\frac{75}{8}$．

點評 此題屬于二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的最值，三角形與四邊形的面積問題以及線段和最短問題等知識的綜合應用．解題的關鍵是運用方程思想與數形結合思想進行求解．