Question

7．如圖，AB=4，∠C=90°，E為AB中點(diǎn)，D為△ABC內(nèi)心．當(dāng)點(diǎn)C在AB上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DE的最小值為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 連接DA、DB，根據(jù)內(nèi)心的概念得到AD、BD是△ABC的角平分線，求出∠ADB=135°，根據(jù)圓周角定理、勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：連接DA、DB，
∵D為△ABC內(nèi)心，
∴AD、BD是△ABC的角平分線，又∠C=90°，
∴∠ADB=135°，
∴點(diǎn)D在以AB為弦，∠ADB=135°的圓弧上，
設(shè)圓弧的圓心為H，連接HE并延長交圓弧于D′，
則當(dāng)點(diǎn)C在AB上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，D′E最小，
∵∠ADB=135°，
∴∠AHB=90°，
∴D′H=AH=2$\sqrt{2}$，EH=2，
∴D′E=2$\sqrt{2}$-2，
故答案為：2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，掌握內(nèi)心的性質(zhì)、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．