Question

8．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S_△AEF：S_△CAB=1：4；④AF²=2EF²．其中正確的結論有（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①根據四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②根據點E是AD邊的中點，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據相似三角形對應邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；
③根據△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值，據此求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△BCF，可得S_△AEF：S_△CAB=1：6，故③錯誤；
④根據AA可得△AEF∽△BAF，根據相似三角形的性質可得AF²=2EF²，故④正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF=1：2，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△BCF，
∴S_△AEF：S_△CAB=1：6，故③錯誤；
∵△AEF∽△CAB，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴△AEF∽△BAF，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AF}{BF}$，
AF²=EF•BF=2EF²，故④正確．
故選：B．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形面積的計算的綜合應用，正確作出輔助線是解題的關鍵．解題時注意，相似三角形的對應邊成比例．